Lineare Abbildungen und Matrizen

Zusammenfassung:

Im letzten Kapitel haben wir die grundlegenden Objekte der linearen Algebra, nämlich Vektorräume, behandelt. Wir befassen uns nun mit den strukturerhaltenden Abbildungen zwischen Vektorräumen, die lineare Abbildungen genannt werden. Sie bilden Unterräume wieder auf Unterräume ab, wobei die Dimension nicht vergrößert wird. Wichtige Spezialfälle sind lineare Abbildungen Euklidischer Vektorräume, die die Länge von Vektoren erhalten. Hierunter fallen Drehungen und Spiegelungen, die den Nullvektor fest lassen. Lineare Abbildungen sind nicht nur von besonderer Bedeutung für die Geometrie (darauf werden wir in Kapitel 12 näher eingehen) und damit auch für die graphische Datenverarbeitung und Robotik; mit ihrer Hilfe lassen sich z.B. auch lineare Gleichungssysteme besonders einfach behandeln (vgl. Kapitel 11).

Lineare Abbildungen sind durch die Angabe des Bildes einer Basis vollständig bestimmt und können deshalb durch Tafeln mit Einträgen aus dem Körper der Skalare (Matrizen) beschrieben werden. Diese Beschreibung erleichtert vor allem den rechnerischen Umgang mit linearen Abbildungen und Basiswechseln. Wir verdeutlichen dies am Beispiel der für Anwendungen äußerst wichtigen diskreten Fouriertransformation. Zentral ist daneben der Begriff der Determinante einer linearen Abbildung eines $n$ -dimensionalen Vektorraums in sich. Sie gibt den ``Verzerrungsfaktor'' für das Bild des $n$ -dimensionalen Einheitsvolumens an und man kann an ihr ablesen, ob eine lineare Abbildung invertierbar ist.