Lineare Abbildungen

Zusammenfassung:

Lineare Abbildungen spielen für Vektorräume dieselbe Rolle wie Homomorphismen bei Gruppen oder Ringen: sie ``respektieren'' die Addition und die Multiplikation mit Skalaren. Wir definieren, was dies genau bedeutet, und verdeutlichen den Begriff der linearen Abbildung an typischen Beispielen. Wir führen den Rang einer linearen Abbildung ein und zeigen die wichtige Dimensionsformel.

Homomorphismen bei Gruppen oder Ringen sind diejenigen Abbildungen, die mit den Gruppen- bzw. Ringoperationen verträglich sind. Entsprechend definiert man Homomorphismen zwischen Vektorräumen, die traditionsgemäß lineare Abbildungen genannt werden.

Definition 10.1   Seien $V$ und $W$ Vektorräume über demselben Körper $K$ .

a)

Eine Abbildung $\alpha: V \rightarrow W$ heißt lineare Abbildung (oder Homomorphismus), wenn sie die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

(1)

$\alpha(u+v) = \alpha(u) + \alpha(v)$ für alle $u, v \in V$ Additivität

(2)

$\alpha(k v) = k \alpha(v)$ für alle $v \in V, k \in K$ . Homogenität

b)

Ist die lineare Abbildung $\alpha: V \rightarrow W$ bijektiv, so heißt $\alpha$ Isomorphismus.

c)

Gibt es einen Isomorphismus von $V$ auf $W$ , so heißen $V$ und $W$ isomorph.

Will man den Körper $K$ besonders betonen, spricht man auch von $K$ -linearen Abbildungen.

Da jede lineare Abbildung $\alpha: V \rightarrow W$ auch ein Homomorphismus der kommutativen Gruppen $(V, +) \rightarrow (W, +)$ ist, ist $\alpha(o) = o$ .

Beispiele:

1. Die Abbildung, die jeden Vektor $v \in V$ auf den Nullvektor aus $W$ abbildet, ist trivialerweise linear. Sie heißt Nullabbildung von $V$ nach $W$ .
2. Die lineare Abbildung $id_V$ auf $V$ ist ein Isomorphismus von $V$ auf $V$ .
3. Wir betrachten in der Ebene, beschrieben durch $\mathbb{R}^2$ , eine Drehung $\rho$ um den Nullpunkt. Für $u, v \in \mathbb{R}^2$ wird das von $o, u, v, u +v$ beschriebene Parallelogramm wieder auf ein Parallelogramm $o, \rho(u), \rho(v), \rho(u+v)$ abgebildet. Also ist $\rho(u) + \rho(v) = \rho(u+v)$ . Dass $\rho(k v) = k \rho(v)$ gilt, ist klar. $\rho$ ist also eine lineare Abbildung des $\mathbb{R}^2$ auf sich.
4. Sei $\sigma: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ definiert durch $\sigma \left( \left (\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{array} \right ) \right) = \left (\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ -x_3 \end{array} \right )$ . Man sieht sofort, dass $\sigma$ eine lineare Abbildung ist. Geometrisch beschreibt sie die Spiegelung an der von $e_1$ und $e_2$ aufgespannten Ebene.
5. Wir betrachten die Abbildung $\pi: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, \left (\begin{array}{c}x_1\\ x_2\end{array} \right ) \mapsto \left( \begin{array}{c} x_1 \\ 0 \end{array} \right)$ . Auch hier ist offensichtlich, dass $\pi$ eine lineare Abbildung ist. Geometrisch beschreibt sie die orthogonale Projektion auf die Gerade durch $e_1$ .
6. Wir verallgemeinern das vorige Beispiel. Sei dazu $V$ ein $K$ -Vektorraum, der die direkte Summe zweier Vektorräume $U$ und $W$ ist: $V = U \oplus W$ . Ist $v \in V$ , so hat $v$ nach Satz 9.6 eine eindeutige Darstellung $v = u + w$ mit $u \in U, w \in W$ . Daher ist die Abbildung $\pi_{U, W} : V \rightarrow W \subseteq V$ , erklärt durch $\pi_{U,W} (v) : = w$ , eindeutig definiert. $\pi_{U, W}$ ist linear. Sie heißt die Projektion von $V$ auf $W$ entlang $U$ . Die Abbildung $\pi$ aus dem vorigen Beispiel ist dann gerade die Projektion von $\mathbb{R}^2$ auf $\langle e_1 \rangle$ entlang $\langle e_2 \rangle$ .
7. Sei $v \in \mathbb{R}^n$ gegeben. Dann ist die Abbildung $\lambda_v: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \, x \mapsto (v\vert x)$ eine lineare Abbildung. Dies folgt direkt aus der Definition des Skalarprodukts.
8. Sei $V = W = K^n$ für einen Körper $K$ . Ein lineares Schieberegister ist eine Abbildung $\alpha$ , die jedem Vektor $x = (x_1, \ldots, x_n)^t$ den Vektor $\alpha(x) = (x_2, x_3, \ldots, x_n, \sum_{i=1}^{n} c_i x_i)^t$ zuordnet. Dabei sind $c_1, \ldots, c_n$ feste, das Schieberegister charakterisierende Skalare. $\alpha$ ist offensichtlich linear. Grob gesprochen bedeutet die Anwendung von $\alpha$ : die erste Koordinate verschwindet, die zweite wird zur ersten, die dritte zur zweiten, $\ldots$ , die letzte zur vorletzten. Die neue letzte Koordinate ist die durch $c_1, \ldots, c_n$ bestimmte Kombination aus allen Koordinaten.
9. Sei $V = U \oplus W$ die direkte Summe von $U$ und $W$ . Bildet man die äußere direkte Summe (also das direkte Produkt, vgl. Seite ) $\widetilde{V} = U \times W$ , so sind $V$ und $\bar{V}$ isomorphe Vektorräume vermöge des Isomorphismus $\alpha: V \rightarrow \widetilde{V}, u + w \mapsto (u,w)$ .

Aufgaben:

1. Sei $\alpha: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4$ definiert durch $(x, y, z)^t \mapsto (3x -y, x + y + 2z, y - z, 2x + z)^t$ . Zeigen Sie bitte, dass $\alpha$ eine lineare Abbildung ist. Lässt sich dieses Beispiel verallgemeinern?
2. Welche der folgenden Abbildungen sind linear, welche nicht?

   a)

   $\alpha : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, \left (\begin{array}{c}x\\ y\e... ...y} \right ) \mapsto \left( \begin{array}{cc} x + y + 1 \\ x \end{array} \right)$

   b)

   $\beta: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \left (\begin{array}{c}x\\ y\end{array} \right ) \mapsto x y$

   c)

   $\gamma : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3, \left (\begin{array}{c}x\\ y\\... ...nd{array} \right ) \times \left (\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1 \end{array} \right )$

3. Sei $V$ der Vektorraum der reellen differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall $J = [a,b] \subseteq \mathbb{R}$ . Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

   a)

   $\alpha : V \rightarrow \mathbb{R}^J, \, \alpha(f) = f'$

   b)

   $\beta: V \rightarrow \mathbb{R}^J,\, (\beta(f))(x) = \int\limits_{a}^{x} f(t)dt$

   c)

   $\gamma: V \rightarrow \mathbb{R}^J, \, (\gamma(f))(x) = \vert f(x)\vert$

4. Sei $V$ ein 1-dimensionaler $K$ -Vektorraum. Zeigen Sie bitte, dass für jedes $k \in K$ die Abbildung $\alpha_{k} : V \rightarrow V, v \mapsto k v$ eine lineare Abbildung ist und dass jede lineare Abbildung von $V$ nach $V$ von dieser Form ist.

Satz 10.2   Sei $\alpha: V \rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Ist $U$ ein Unterraum von $V$ , so ist $\alpha(U) = \{\alpha(u) : u \in U \}$ ein Unterraum von $W$ . Insbesondere ist das Bild von $V, \alpha(V),$ ein Unterraum von $W$ .
Ist $U$ endlich-dimensional, so ist $\dim (\alpha(U)) \leq \dim (U)$ .

Beweis: Die erste Behauptung folgt sofort aus der Definition einer linearen Abbildung. Ist $\{ u_1, \dots, u_m \}$ eine Basis von $U$ , so folgt aus der Linearität von $\alpha$ , dass $\{ \alpha(u_1), \ldots, \alpha(u_m)\}$ ein Erzeugendensystem von $\alpha(U)$ ist. Nach Satz 9.12 ist daher $\dim (\alpha(U)) \leq m = \dim(U)$ .$\Box$

Wie bei Gruppen und Ringen definieren wir den Kern einer linearen Abbildung $\alpha: V \rightarrow W$ durch $\ker(\alpha) : = \{ v \in V: \alpha(v) = o\}$ .

Der folgende Satz ist Ihnen schon von Gruppen und Ringen her bekannt:

Satz 10.3   Sei $\alpha : V \rightarrow W$ eine lineare Abbildung.

a)

$\ker(\alpha)$ ist ein Unterraum von $V$ .

b)

$\alpha$ ist genau dann injektiv, wenn $\ker (\alpha) = \{o\}$ , d. h. wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht.

c)

Ist $\alpha$ bijektiv, so ist die Umkehrabbildung $\alpha^{-1}: W \rightarrow V$ eine lineare Abbildung.

Aufgabe: Beweisen Sie bitte diesen Satz.

Die folgende Eigenschaft linearer Abbildungen auf endlich-dimensionalen Vektorräumen ist zwar einfach zu zeigen, aber sehr wichtig. Sie bildet die Grundlage dafür, Rechnungen mit linearen Abbildungen durch einen Matrizenkalkül zu ersetzen, auf den wir im nächsten Abschnitt eingehen werden.

Satz 10.4   Seien $V, W$ $K$ -Vektorräume, $V$ sei endlich-dimensional, $\dim (V) = n$ . Sei $\{v_1, \ldots, v_n\}$ eine Basis von $V$ und seien $w_1, \ldots, w_n$ (nicht notwendig verschiedene) Vektoren in $W$ . Dann existiert genau eine lineare Abbildung $\alpha : V \rightarrow W$ mit $\alpha(v_i) = w_i$ für $i = 1, \ldots, n$ .

Bemerkung:Dieser Satz besagt: Kennt man die Bilder einer Basis, so kennt man die lineare Abbildung vollständig. Und außerdem: Die Bilder einer Basis lassen sich beliebig vorgeben, es gibt dann immer eine (eindeutige) Fortsetzung zu einer linearen Abbildung auf dem gesamten Vektorraum. Es ist daher nicht verwunderlich, dass sich Eigenschaften wie Injektivität, Surjektivität und Bijektivität einer linearen Abbildung eines (endlich-dimensionalen) Vektorraums an den Bildern einer beliebigen Basis ablesen lassen.

Beweis: (von Satz 10.4)
Sei $v = \sum_{i=1}^{n} c_i v_i \in V$ . Ist $\alpha$ eine lineare Abbildung mit $\alpha(v_i) = w_i$ , so ist $\alpha(v)$ eindeutig bestimmt: $\alpha(v) = \alpha(\sum_{i=1}^{n} c_i v_i) = \sum_{i=1}^{n} c_i \alpha(v_i) = \sum_{i=1}^{n} c_i w_i$ . Es gibt also höchstens eine solche lineare Abbildung.
Ist nun $x \in V$ beliebig und $x = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n$ die eindeutige Darstellung bezüglich der Basis, so wird durch

$$\alpha(x) = \alpha(c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n) = c_1 w_1 + c_2 w_2 + \cdots + c_n w_n$$

auch tatsächlich eine lineare Abbildung definiert. Sie ist eindeutig erklärt wegen der Eindeutigkeit der Darstellung von jedem $x$ als Linearkombination der Basisvektoren und die Linearität ergibt sich durch einfache Rechnung. Schließlich ist klar, dass $\alpha(v_i) = w_i$ .$\Box$

Beispiel: Wir betrachten im $\mathbb{R}^2$ mit dem Standard-Skalarprodukt eine Drehung $\rho$ um den Nullpunkt als Drehzentrum, und zwar um den Winkel $\varphi$ mit Drehrichtung von $e_1$ nach $e_2$ . Dann ist $\rho(e_1) = \cos(\varphi) e_1$ + $\sin(\varphi) e_2$ , $\rho(e_2) = - \sin (\varphi)e_1 + \cos(\varphi)e_2$ . Für $x= c_1 e_1 + c_2 e_2 \in \mathbb{R}^2$ lässt sich hieraus $\rho(x) = c_1 \rho(e_1) + c_2 \rho(e_2)$ berechnen.

Satz 10.5   Seien $V, W$ $K$ -Vektorräume, $V$ sei endlich-dimensional und $\{ v_1, \ldots, v_n \}$ eine Basis von $V$ . Sei $\alpha: V \rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann gilt:
a) $\alpha$ ist genau dann injektiv, wenn $\alpha(v_1), \ldots, \alpha(v_n)$ linear unabhängig sind.
b) $\alpha$ ist genau dann surjektiv, wenn $W = \langle \alpha(v_1), \ldots, \alpha(v_n)\rangle$ .
c) $\alpha$ ist genau dann bijektiv, wenn $\{ \alpha(v_1), \ldots, \alpha(v_n)\}$ eine Basis von $W$ ist.

Beweis: a) Sei $\alpha$ injektiv. Ist $o = \sum_{i=1}^{n} c_i \alpha(v_i) = \alpha(\sum_{i=1}^{n} c_i v_i)$ , so ist $\sum_{i=1}^{n} c_i v_i \in \ker(\alpha) = \{o\}$ (nach Satz 10.3 b)). Aus der linearen Unabhängigkeit von $v_1, \ldots, v_n$ folgt $c_1 = \ldots = c_n = 0$ . Also sind $\alpha(v_1), \ldots, \alpha(v_n)$ linear unabhängig.
Für die Umkehrung sei $v = \sum_{i=1}^{n} b_i v_i \in \ker (\alpha)$ . Dann ist $o = \alpha(v) = \sum_{i=1}^{n} b_i \alpha(v_i)$ . Aus der linearen Unabhängigkeit der $\alpha(v_i)$ folgt $b_i = \ldots = b_n = 0$ , also $v = o$ . Damit ist $\ker(\alpha) = \{o\}$ und $\alpha$ ist injektiv.
b) $\alpha(V)$ wird wegen der Linearität von $\alpha$ von $\alpha(v_1), \ldots, \alpha(v_n)$ erzeugt. Damit folgt die Behauptung.
c) Dies ist eine unmittelbare Konsequenz aus a) und b).$\Box$

Aufgabe: Sei $\alpha: K^n \rightarrow K^n$ das lineare Schieberegister aus Beispiel 8, Seite . Zeigen Sie bitte, dass $\alpha$ genau dann bijektiv ist, wenn $c_1 \neq 0$ . Tipp: Betrachten Sie die Bilder der kanonischen Basis.

Als Konsequenz aus den Sätzen 10.4 und 10.5 ergibt sich, dass $K$ -Vektorräume gleicher Dimension isomorph sind:

Korollar 10.6   Seien $V$ und $W$ $K$ -Vektorräume, $\dim (V) = \dim (W) = n$ . Dann sind $V$ und $W$ isomorph.

Beweis: Ist $B = \{ v_1, \ldots, v_n \}$ eine Basis von $V$ und $B' = \{ w_1, \ldots, w_n \}$ eine Basis von $W$ , so existiert nach Satz 10.4 eine lineare Abbildung $\alpha: V \rightarrow W$ mit $\alpha(v_i) = w_i, \, i = 1, \ldots, n$ . Nach Satz 10.5 c) ist $\alpha$ bijektiv, also ein Isomorphismus.$\Box$

Wir notieren einen wichtigen Spezialfall:

Korollar 10.7   Sei $V$ ein $n$ -dimensionaler $K$ -Vektorraum, $B = \{ v_1, \ldots, v_n\}$ eine Basis von $V$ . Dann ist die Abbildung $\kappa_B$ , die jedem Vektor seinen Koordinatenvektor bezüglich $B$ zuordnet, also

$$\kappa_B : V \rightarrow K^n, \, v = \sum_{i=1}^{n} c_i v_i \mapsto \kappa_B(v) = (c_1, \ldots, c_n)^t$$

ein Isomorphismus.

Beweis: $\kappa_B$ ist die nach Satz 10.4 eindeutig bestimmte lineare Abbildung, die $v_i$ gerade den kanonischen Basisvektor $e_i$ in $K^n$ zuordnet. Die Behauptung folgt aus Satz 10.5 c).$\Box$

Mit linearen Abbildungen kann man rechnen. Dazu sei $L(V,W)$ die Menge der linearen Abbildungen vom Vektorraum $V$ in den Vektorraum $W$ .

Satz 10.8  
a) Seien $V, W$ Vektorräume über $K$ . Dann ist $L(V,W)$ ein Unterraum von $W^V$ . Im Einzelnen heißt das:
Seien $\alpha, \beta : V \rightarrow W$ lineare Abbildungen. Dann ist auch

$$\alpha + \beta : v \mapsto (\alpha + \beta) (v) \, : = \, \alpha (v) \, + \, \beta (v)$$

eine lineare Abbildung. Ebenso ist für $k \in K$

$$k \alpha : v \mapsto (k \alpha) (v) \, : = \, k \alpha (v)$$

eine lineare Abbildung.
b) Sei $U$ ein weiterer $K$ -Vektorraum und $\alpha : U \rightarrow V, \quad \beta : U \rightarrow W$ seien lineare Abbildungen. Dann ist auch die Hintereinanderausführung $\beta \circ \alpha : U \rightarrow W$ eine lineare Abbildung.

Statt $\beta\circ \alpha$ schreibt man einfach $\beta \alpha$ .

Satz 10.9   Seien $V$ und $W$ $K$ -Vektorräume.

a)

Ist $\dim (V) = n$ und $\dim (W) = m$ , so ist $\dim (L(V,W)) = n m$ .

b)

Ist $V = W$ , so ist $(L(V,V), +, \circ)$ ein Ring mit Eins. Dieser ist genau dann kommutativ, wenn $\dim(V) \leq 1$ .