Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung

Seien $V$ und $W$ Vektorräume über dem Körper $K$ . Wir zeichnen sowohl in $V$ als auch in $W$ eine Basis aus: ${\cal B} \, = \, (v_1 , \ldots , v_n)$ sei eine Basis in $V$ , ${\cal C} \, = \, (w_1 , \ldots, w_m)$ sei eine Basis in $W$ .

Wie schon die Schreibweise der Basen als $n$ - bzw. $m$ -Tupel von Vektoren anzeigt, wird jetzt die Reihenfolge der Basisvektoren wichtig sein. Wir betrachten also geordnete Basen, was wir auch durch die Bezeichnung $\cal B$ und $\cal C$ (statt $B$ und $C$ für ungeordnete Basen, also Mengen) zum Ausdruck bringen.

Alles, was folgt, hängt von diesen beiden Basen ab !

Sei $\alpha$ eine lineare Abbildung von $V$ nach $W$ . Nach Satz 10.4 kennen wir $\alpha$ , wenn wir die Bilder $\alpha (v_1), \ldots, \alpha (v_n )$ der Basis $\cal B$ von $V$ kennen. Wir stellen $\alpha(v_1)$ als Linearkombination bezüglich der Basis $\cal C$ dar:

$$\alpha (v_1) \, = \, a_{11} \, w_1 \, + \, a_{21} \, w_2 \, + \, \ldots + a_{m1} \, w_m.$$

Die $a_{11} , \ldots, a_{m1} \in K$ sind eindeutig bestimmt, weil ${\cal C} \, = \, \{w_1, \ldots, w_m \}$ eine Basis in $W$ ist. Die Wahl der Indizes in dieser Form ist eine international übliche Festlegung.
Entsprechend ist

$$\alpha (v_2 ) = a_{12} w_1 + a_{22} w_2 + \ldots + a_{m2} w_m$$

$$\vdots$$

$$\alpha (v_n ) = a_{1n} w_1 + a_{2n} w_2 + \ldots + a_{mn} w_m.$$

Wir fassen die Koeffizienten in einem rechteckigen Schema - Matrix genannt - zusammen:

$$A_{\alpha}^{\cal B, C} = \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{... ... &\ddots &\vdots\\ a_{m1}& a_{m2} &a_{m3}& \cdots& a_{mn} \end{array} \right).$$

Die $k$ -te Spalte enthält gerade die Koordinaten des Bildes $\alpha (v_k )$ des $k$ -ten Basisvektors aus der Basis $\cal B$ von $V$ bezüglich der Basis $\cal C$ in $W$ .

Da Matrizen auch unabhängig von dem eben beschriebenen Zusammenhang mit linearen Abbildungen wichtig sind, definieren wir allgemein:

Definition 10.14    
a) Eine $m \times n$ -Matrix $A$ über dem Körper $K$ ist ein rechteckiges Schema

$$A = \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}& \cdots ... ...s &\ddots &\vdots\\ a_{m1}& a_{m2} &a_{m3}& \cdots& a_{mn} \end{array} \right)$$

mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten, wobei $a_{ij} \in K$ für $i = 1, \ldots, m, j = 1, \ldots, n$ .
Für $A$ schreiben wir abkürzend auch $(a_{ij})_{{i = 1, \ldots, m} \atop {j = 1, \ldots, n}}$ oder sogar nur $(a_{ij})$ , falls $m$ und $n$ aus dem Kontext klar sind.

b) Die Menge aller $m \times n$ -Matrizen über dem Körper $K$ wird mit ${\mathcal M}_{m,n} (K)$ bezeichnet. Ist $m = n$ , so schreiben wir einfach ${\mathcal M}_n(K)$ .

Eine $1 \times n$ -Matrix ist ein Zeilenvektor der Länge $n$ , eine $m \times 1$ -Matrix ist ein Spaltenvektor der Länge $m$ .
Eine Matrix, deren sämtliche Einträge Nullen sind, heißt Nullmatrix.

Definition 10.15   Seien $V$ und $W$ endlich-dimensionale Vektorräume über dem Körper $K$ , $\cal B$ und $\cal C$ geordnete Basen von $V$ bzw. $W$ . Sei $\alpha$ eine lineare Abbildung von $V$ nach $W$ . Dann heißt die Matrix $A_{\alpha}^{\cal B, C}$ die Matrix (oder Darstellungsmatrix) der linearen Abbildung $\alpha$ bezüglich der geordneten Basen $\cal B$ und $\cal C$ .

Wenn die Basen $\cal B$ und $\cal C$ aus dem Kontext klar sind, schreiben wir auch $A_{\alpha}$ für $A_{\alpha}^{\cal B, C}$ . Ist $V = W$ und ${\cal B} = {\cal C}$ , so schreiben wir $A_{\alpha}^{\cal B}$ statt $A_{\alpha}^{\cal B,B}$ .

Bemerkung: Ist $\dim (V) = n, \, \dim (W) = m$ , so ist die Zuordnung $\alpha \mapsto A_{\alpha}^{\cal B, C}$ eine bijektive Abbildung von $L(V, W)$ auf ${\mathcal M}_{m,n}(K)$ : Durch die Darstellungsmatrix bezüglich $\cal B$ und $\cal C$ ist $\alpha$ eindeutig bestimmt; dies ist die Injektivität. Ist $A = (a_{ij}) \in {\mathcal M}_{m,n}(K)$ , so setze $\alpha(v_j) = \sum_{i = 1}^{m} a_{ij} w_i$ für $j = 1, \ldots, m$ . Nach Satz 10.4 ist damit $\alpha \in L(V,W)$ eindeutig bestimmt und $A_\alpha^{\cal B, C} = A$ . Dies ist die Surjektivität der obigen Abbildung.

Beispiele:

1. Sei $V$ ein $n$ -dimensionaler $K$ -Vektorraum, ${\mathcal B}$ eine Basis von $V$ , $\alpha = id_V$ . Dann ist $A_{\alpha}^{{\mathcal B}} = E_n = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & \ldots &... ... & & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{array} \right) \in {\mathcal M}_n(K)$ , also $E_n = (\delta_{ik})_{{i = 1, \ldots, n} \atop {k = 1, \ldots, n}}$ , wobei $\delta_{ik} = \left\{\begin{array}{cc} 1 \,\, i = k\\ 0 \,\, i \neq k \end{array} \right.$ das sog. Kronecker⁵⁷-Symbol ist. $E_n$ heißt $n \times n$ -Einheitsmatrix.
2. $V \, = \, W \, = \, \mathbb{R}^2, \quad {\cal B} \, = \, (\left (\begin{array}... ... \quad \left (\begin{array}{c}0\\ 1\end{array} \right )) \, = \, (e_1 , \, e_2)$ .
   $\alpha$ sei eine Drehung um den Winkel $\varphi$ (Drehrichtung von $e_1$ nach $e_2$ ).
   Dann ist $\alpha (e_1 ) \, = \, \cos (\varphi) e_1 \, + \, \sin (\varphi) e_2,$ $\alpha (e_2 ) \, = \, - \sin (\varphi) e_1 \, + \, \cos (\varphi) e_2$ , also
   $$A_{\alpha}^{{\cal B}} \, = \, \left( \begin{array}{lcr} \cos (\varphi) && - \sin (\varphi)\\ \sin (\varphi) && \cos (\varphi) \end{array} \right).$$
   Für ${\cal B'} = (e_2, e_1)$ ist
   $$A_{\alpha}^{\cal B'} \, = \, \left( \begin{array}{rcr} \cos (\varphi) && \sin (\varphi)\\ - \sin (\varphi) && \cos (\varphi) \end{array} \right).$$
   Man sieht an diesem Beispiel, warum für die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung die Reihenfolge der Basisvektoren wichtig ist.
3. Sei $V = W = \mathbb{R}^2, \, {\cal B} = (e_1, e_2)$ . Sei $U_1 = \langle e_1 + e_2 \rangle, U_2 = \langle e_1 - e_2 \rangle$ . Dann ist $V = U_1 \oplus U_2$ . Sei $\pi = \pi_{U_1, U_2}$ wie in Beispiel 6, Seite die Projektion von $V$ auf $U_2$ entlang $U_1$ . Dann ist
   $$\pi(e_1) = \pi(\frac{1}{2} (e_1 + e_2) + \frac{1}{2} (e_1 - e_2)) = \frac{1}{2} (e_1 -e_2)$$
   und
   $$\pi(e_2) = \pi (\frac{1}{2} (e_1 + e_2) - \frac{1}{2} (e_1 - e_2)) = - \frac{1}{2} (e_1 - e_2),$$
   also $A_{\pi}^{\cal B} = \left(\begin{array}{rr} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right).$

   Wählt man als geordnete Basis ${\cal B'} = (e_1 + e_2, e_1 - e_2)$ , so ist $A_{\pi}^{\cal B'} = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$ und $A_{\pi}^{\cal B, B'} = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{array} \right).$

   Die Darstellungsmatrix von $\pi$ ist also abhängig von der Wahl der Basen.

4. Nimmt man in $K^n$ die kanonische Basis ${\cal B}= (e_1, \ldots, e_n)$ , so erhält man für die Matrix $A_{\alpha}= A_{\alpha}^{\cal B}$ des Schieberegisters $\alpha$ (siehe Beispiel 8, Seite )
   $$A_{\alpha} = \left (\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\... ... 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\ c_1 & c_2 & c_3 & \cdots & c_n \end{array} \right ).$$

$\parbox{\appletwidth}{Benutzen Sie nun bitte das Applet \lq\lq Lineare Tr... ...matrix bezüglich der kanonischen Basis in $\mathbb{R}^2$\ oder $\mathbb{R}^3$.}$

Applet: Lineare Transformationen im Raum

Aufgaben:

1. Sei $v \in \mathbb{R}^n$ und $\lambda_v: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ die lineare Abbildung $x \mapsto (v \vert x)$ ; vgl. Beispiel 7, Seite . Bestimmen Sie bitte bezüglich der kanonischen Basen von $\mathbb{R}^n$ und $\mathbb{R}$ die Darstellungsmatrix von $\lambda_v$ .
2. Bestimmen Sie bitte $A_{\sigma}^{\cal B}$ und $A_{\sigma}^{\cal B'}$ für die Spiegelung $\sigma$ aus Beispiel 4, Seite , wobei ${\cal B} = (e_1, e_2, e_3)$ und ${\cal B'} = (e_1 + e_3, e_1 - e_2, e_2 - e_3)$ .

Wir hatten in den obigen Beispielen gesehen, dass die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung von der Auswahl der Basen abhängt. Tatsächlich gibt es immer Basen, so dass die Darstellungsmatrix eine besonders einfache Form hat.

Satz 10.16   Seien $V$ und $W$ Vektorräume, $\dim (V) = n, \dim (W) = m, \alpha: V \rightarrow W$ eine lineare Abbildung, $l = {\rm rg} (\alpha)$ . Dann existieren Basen $\cal B$ und $\cal C$ in $V$ bzw. $W$ , so dass für $A_{\alpha}^{\cal B, C} = (a_{ij})_{{i = 1, \ldots, m} \atop {j=1, \ldots, n}}$ gilt: $a_{ii} =1$ für $i = 1, \ldots, l, \, a_{ij} = 0$ für alle übrigen $i,j$ .

Beweis: Sei nach Korollar 9.16 $U$ ein Komplement zu $\ker (\alpha)$ in $V, \, V = U \oplus \ker (\alpha)$ . Es ist $\dim (U) = \dim (V) - \dim(\ker (\alpha)) =$$\mbox { rg }(\alpha)= l$ nach den Dimensionsformeln 9.23 und 10.12. Ist $(v_1, \ldots, v_l)$ eine Basis von $U$ und $(v_{l+1}, \ldots, v_n)$ eine Basis von $\ker(\alpha)$ , so ist ${\cal B} = (v_1, \ldots, v_l, v_{l+1}, \ldots, v_n)$ eine Basis von $V$ . Sei $\alpha(v_i) = w_i, i =1, \ldots, l$ . Da $\ker(\alpha) \cap U = \{o\}$ , ist $\alpha \vert _U$ injektiv und folglich sind $w_1, \ldots, w_l$ nach Satz 10.5 a) linear unabhängig. Ergänzt man sie nach Korollar 9.15 b) zu einer Basis ${\cal C} = (w_1, \ldots, w_l, w_{l+1}, \ldots, w_m)$ von $W$ , so prüft man leicht nach, dass $A_{\alpha}^{\cal B, C}$ die angegebene Gestalt hat.$\Box$

Aufgabe: Bestimmen Sie bitte für die linearen Abbildungen aus den Beispielen 2 - 4, Seite , Basen $\cal B, C$ , so dass die Darstellungsmatrix die Gestalt aus Satz 10.16 hat.
Tipp: In Beispiel 4 muss man die Fälle $c_1 = 0$ und $c_1 \neq 0$ unterscheiden.

Die Darstellungsmatrix aus Satz 10.16 besticht zwar durch ihre Einfachheit und sie wird später auch nützlich sein; abzulesen ist aber aus ihr nichts anderes als der Rang von $\alpha$ . Dagegen sieht man z. B. an der in Beispiel 2, Seite , angegebenen Darstellungsmatrix einer Drehung sofort den Drehwinkel $\varphi \in [0, 2\pi[$ . Welche Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung besonders günstig ist, hängt von den Umständen ab.