Summen und skalare Vielfache von Matrizen

Wie lassen sich für lineare Abbildungen $\alpha$ und $\beta$ die Darstellungsmatrizen von $\alpha + \beta$ und $k \alpha$ aus denen von $\alpha, \beta$ (bezüglich der gleichen Basenpaare) berechnen? Wir geben dazu allgemein für Matrizen eine Definition von Addition und Multiplikation mit Skalaren an, die, angewandt auf Darstellungsmatrizen, eine Antwort auf diese Frage liefert.

Definition 10.17  
Seien $A \, = \, \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$ und $B \, = \, \left( \begin{array}{ccc} b_{11} & \cdots & b_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ b_{m1} & \cdots & b_{mn} \end{array} \right)$
$m \times n$ -Matrizen über $K$ .

a)

Die Summe $A + B$ ist definiert durch

$$A + B \, = \, \left( \begin{array}{ccc} a_{11} + b_{11} & \cdots ... ...s & & \vdots\\ a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{array} \right),$$

das heißt, man addiert komponentenweise.

b)

Ist $k \in K$ , so ist $k A$ definiert durch

$$k A \, = \, \left( \begin{array}{ccc} k a_{11} & \cdots & k a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ k a_{m1} & \cdots & k a_{mn} \end{array} \right),$$

das heißt, man multipliziert jeden Eintrag mit $k$ .

Es gilt nun:

Satz 10.18   Seien $V$ und $W$ $K$ -Vektorräume mit Basen $\cal B$ bzw. $\cal C$ . Seien $\alpha$ und $\beta$ lineare Abbildungen von $V$ nach $W$ . Dann gilt $A_{\alpha + \beta} = A_\alpha + A_\beta$ und $A_{k \alpha} = k A_{\alpha}$ für $k \in K$ . Dabei sind alle Darstellungsmatrizen bezüglich der Basen $\cal B$ und $\cal C$ gebildet.

Aufgabe: Beweisen Sie bitte diesen Satz. Tipp: Überlegen Sie einfach, was die Spalten der Matrizen sind.

Bemerkung: ${\mathcal M}_{m,n}(K)$ ist bezüglich der Operationen aus Definition 10.17 ein $K$ -Vektorraum; er ist nichts anderes als $K^{mn}$ in veränderter Schreibweise. Sind $V, W$ $K$ -Vektorräume, $\dim (V) = n, \dim (W) = m$ , so sind ${\mathcal M}_{m, n} (K)$ und $L(V, W)$ isomorph. Dies ist klar, da beide die gleiche Dimension $m \cdot n$ haben (vgl. Satz 10.9 a)). Konkrete Isomorphismen erhält man bei Wahl von Basen $\cal B$ und $\cal C$ in $V$ bzw. $W$ durch die Zuordnung $\alpha \mapsto A_{\alpha}^{\cal B, C}$ (vgl. die Bemerkung auf Seite ).