Lineare Abbildungen und Koordinatenvektoren

Mit Hilfe der Matrizenmultiplikation lässt sich aus der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung $\alpha$ und dem Koordinatenvektor von $v$ der Koordinatenvektor von $\alpha(v)$ berechnen.

Satz 10.25   Sei $\alpha : V \rightarrow W$ eine lineare Abbildung , $\dim (V) = n, \, \, \dim (W) = m, \ {\mathcal B}$ und ${\mathcal C}$ Basen von $V$ bzw. $W$ , $A_\alpha = A_{\alpha}^{{\mathcal B}, {\mathcal C}}$ .

Ist $v \in V$ und $x \in K^n$ der Koordinatenvektor von $v$ (also $x = \kappa_{{\mathcal B}} (v)$ in der Bezeichnung von Korollar 10.7), so ist $A_{\alpha} \cdot x \in K^m$ der Koordinatenvektor von $\alpha(v)$ bezüglich ${\mathcal C}$ .

Beweis: Sei ${\mathcal B}= (v_1, \ldots, v_n), \, {\mathcal C}= (w_1, \ldots, w_m), \, A_{\alpha} = (a_{ij})_{{i = 1, \ldots, m} \atop {j = 1, \ldots, n}}$ . Ist $v = \sum_{j=1}^{n} c_j v_j$ , also $x = (c_1, \ldots, c_n)^t$ , so ist

$$\alpha(v) = \sum_{j=1}^{n} c_j \alpha(v_j) = \sum_{j = 1}^{n} c_j (\sum_{i=1}^{m} a_{ij} w_i) = \sum_{i=1}^{m} (\sum_{j=1}^{n} a_{ij} c_j) w_i.$$

Daraus folgt die Behauptung.$\Box$

Bemerkung:Sind $\vec{a}_i$ die Zeilenvektoren der Matrix $A_\alpha$ und $x$ der Koordinatenvektor, der nach unserer Vereinbarung ein Spaltenvektor ist und den wir daher jetzt vorübergehend als $\mbox{$x^{\downarrow}$}$ schreiben, so ist nach der Bemerkung auf S. $A_\alpha \cdot$   $\mbox{$x^{\downarrow}$}$$= \left (\begin{array}{c}\vec{a}_1 \mbox{$x^{\downarrow}$}\\ \vec{a}_2 \mbox{$x^{\downarrow}$}\\ \vdots\\ \vec{a}_m \mbox{$x^{\downarrow}$}\end{array} \right)$ .

Korollar 10.26  

a)

Ist $A \in {\mathcal M}_{m,n}(K)$ , so ist die Abbildung $\alpha_A : K^n \rightarrow K^m$ definiert durch $x \mapsto A \cdot x$ für $x \in K^n$ eine lineare Abbildung.

b)

Jede lineare Abbildung $K^n \rightarrow K^m$ ist von der in a) beschriebenen Form. Verschiedene Matrizen bewirken verschiedene lineare Abbildungen.

Beweis: a) folgt unmittelbar aus Satz 10.21.
b) Ist ${\mathcal B}$ die kanonische Basis von $K^n$ und ${\mathcal C}$ die von $K^m$ , so sind die Elemente aus $K^n$ bzw. $K^m$ schon selbst die Koordinatenvektoren bezüglich ${\mathcal B}$ bzw. ${\mathcal C}$ . Satz 10.25 liefert dann die erste Behauptung. Die zweite Behauptung folgt aus der Bemerkung auf Seite . Explizit: Sind $A, B$ Matrizen, die z. B. in der $i$ -ten Spalte verschieden sind, $a_i^{\downarrow} \neq b_i^{\downarrow}$ , so ist $A e_i = a_i^{\downarrow} \neq b_i^{\downarrow} = B e_i$ .$\Box$

Nach Korollar 10.26 sind also lineare Abbildungen von $K^n$ nach $K^m$ nichts anderes als Matrizenmultiplikationen. Lineare Abbildungen zwischen beliebigen Vektorräumen können - nach Auswahl von Basen - aufgrund von Satz 10.25 auch durch Matrizenmultiplikationen mit den Koordinatenvektoren beschrieben werden. Dies ist ein wichtiges Hilfsmittel für das Rechnen mit linearen Abbildungen.

Aufgabe: Berechnen Sie bitte die Koordinaten eines Bildvektors $\beta(v)$ , wo $\beta$ für die Abbildungen aus den Beispielen 2 - 4 auf Seite steht (jeweils bezüglich der dort angegebenen Basen).