Matrizen und Basiswechsel

Statt zur Beschreibung von linearen Abbildungen kann man Matrizen auch zur Beschreibung eines Basiswechsels benutzen.
Seien ${\mathcal B}= (v_1, \ldots, v_n)$ und ${\mathcal B}' = (v'_1, \ldots, v'_n)$ zwei Basen des Vektorraums $V$ . Sei $v \in V$ . Dann ist $v = \sum_{j=1}^{n} c_j v_j = \sum_{j=1}^{n} c'_j v'_j$ . Wie berechnen sich die Koordinaten $c'_1, \ldots, c'_n$ bezüglich ${\mathcal B}'$ aus denen bezüglich ${\mathcal B}$ ?

Wir drücken zunächst die Elemente von ${\mathcal B}'$ als Linearkombinationen bezüglich der Basis ${\mathcal B}$ aus:

$$v'_j = \sum_{i = 1}^{n} s_{ij} v_i.$$

Die auftretenden Koeffizienten fassen wir in der Matrix

$$S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'} = (s_{ij})_{{i=1, \ldots, n} \atop {j = 1, \ldots, n}}$$

zusammen.

Der $j$ -te Spaltenvektor $s_j^{\downarrow} = \left( \begin{array}{ccc} s_{1j} \\ \vdots \\ s_{nj} \end{array} \right)$ von $S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'}$ ist also der Koordinatenvektor von $v'_j$ bezüglich der Basis ${\mathcal B}$ .

Genauso drücken wir $v_k$ als Linearkombination bezüglich der Basis ${\mathcal B}'$ aus:

$$v_k = \sum_{l=1}^{n} t_{lk} v'_l,$$

und definieren analog $S_{{\mathcal B}', {\mathcal B}} = (t_{lk})_{{l = 1, \ldots, n} \atop {k =1, \ldots, n}}$ . Dann erhalten wir für alle $k = 1, \ldots, n$ :

$$v_k = \sum_{j=1}^{n} t_{jk} v'_j = \sum_{j=1}^{n} t_{jk} (\sum_{i=1}^{n} s_{ij} v_i) = \sum_{i=1}^{n} (\sum_{j=1}^{n} s_{ij} t_{jk}) v_i.$$

Aus dieser Gleichung folgt $\sum_{j=1}^{n} s_{ij} t_{jk} = \delta_{ik}$ für alle $i = 1, \ldots, n$ (wobei $\delta_{ik}$ das Kronecker-Symbol bezeichnet; vgl. Beispiel 1, Seite ), denn die Koordinatendarstellung von $v_k$ bezüglich der Basis ${\mathcal B}= (v_1, \ldots, v_n)$ ist nun einmal

$$v_k = 0 \cdot v_1 + 0 \cdot v_2 + \cdots + 0 \cdot v_{k-1} + 1 \cdot v_k + 0 \cdot v_{k+1} + \cdots + 0 \cdot v_n.$$

Das bedeutet aber $S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'} \cdot S_{{\mathcal B}', {\mathcal B}} = E_n$ und analog gilt $S_{B', B} \cdot S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'} = E_n$ . $S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'}$ ist also eine invertierbare Matrix und $S_{{\mathcal B}', {\mathcal B}} = S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'}^{-1}$ . Damit haben wir gezeigt:

Satz 10.27   Sind ${\mathcal B}$ und ${\mathcal B}'$ Basen des Vektorraums $V$ , so ist die Matrix $S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'}$ , die als Spalten die Koordinatenvektoren der Basiselemente aus ${\mathcal B}'$ bezüglich der Basis ${\mathcal B}$ besitzt, invertierbar und es gilt $S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'}^{-1} = S_{{\mathcal B}', {\mathcal B}}$ . $S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'}$ heißt Basiswechselmatrix.

Wir können nun die eingangs gestellte Frage beantworten. Es ist $v = \sum_{j=1}^{n} c_j v_j = \sum_{j = 1}^{n} c_j \sum_{l=1}^{n} t_{lj} v'_l = \sum_{l=1}^{n} (\sum_{j=1}^{n} t_{lj} c_j) v'_l$ .

Ist also $x = (c_1, \ldots, c_n)^t$ der Koordinatenvektor von $v$ bezüglich ${\mathcal B}$ , so ist $x' = S_{{\mathcal B}', {\mathcal B}} x$ der Koordinatenvektor von $v$ bezüglich ${\mathcal B}'$ . Daher gilt auch $x = S_{{\mathcal B}', {\mathcal B}}^{-1} x' = S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'} x'$ .

Satz 10.28   (Basiswechsel) Um die Koordinaten von $v$ bezüglich ${\mathcal B}'$ aus denen bezüglich ${\mathcal B}$ zu berechnen, multipliziert man den Koordinatenvektor bezüglich ${\mathcal B}$ von links mit derjenigen Matrix, die als Spalten die Koordinaten der Basisvektoren aus ${\mathcal B}$ bezüglich ${\mathcal B}'$ hat:

$$x' = S_{{\mathcal B}', {\mathcal B}} x \ .$$

Beispiel: Sei $V = \mathbb{R}^2, \, {\mathcal B}\, = \, (e_1, e_2), \, {\mathcal B}' \, = \, ... ...t{2}} (e_1 + e_2), \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{2}} (- e_1 + e_2)$ . ${\mathcal B}'$ entsteht aus ${\mathcal B}$ durch Drehung um 45 Grad.
Dann ist also $S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'} \, = \, \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \... ...ystyle \sqrt{2}} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{array} \right)$ . Machen Sie bitte die Probe!
Sei $v = \, \left (\begin{array}{c}1\\ 2\end{array} \right )$ . Dies ist dann auch der Koordinatenvektor bezüglich ${\mathcal B}$ . Dann hat $v$ bezüglich der Basis ${\mathcal B}'$ den Koordinatenvektor $x' \, = \, \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{2}} \left( \begin{array}... ...yle 1}{\displaystyle \sqrt{2}} \left (\begin{array}{c}3\\ 1\end{array} \right )$ , das heißt

$$v \, = \, \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{2}} \cdot 3 ... ...} \cdot 1 \cdot (\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{2}} (- e_1 + e_2)).$$

Aufgabe: Berechnen Sie bitte die Matrizen der folgenden Basiswechsel im $\mathbb{R}^3$ . Dabei ist
${\mathcal B}\, = \, (e_1, e_2, e_3)$ , ${\mathcal B}' \, = \, (\left( \begin{array}{ccc} \cos(\varphi) \\ \sin(\varphi... ...\ 0 \end{array} \right), \left (\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1 \end{array} \right ))$ , ${\mathcal B}'' = (e_1, e_3, e_2)$ .

Nun können wir leicht berechnen, wie sich die Darstellungsmatrizen einer linearen Abbildung bei Basiswechsel verhalten: Sei $\alpha : V \rightarrow W$ eine lineare Abbildung, ${\mathcal B}, {\mathcal B}'$ seien Basen in $V$ mit den Basiswechselmatrizen $S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'}, \, S_{{\mathcal B}', {\mathcal B}}$ wie oben. ${\mathcal C}, {\mathcal C}'$ seien Basen in $W$ . $S_{{\mathcal C}, {\mathcal C}'}$ und $S_{{\mathcal C}', {\mathcal C}}$ seien entsprechend gebildet.

Aufgabe: Beantworten Sie bitte die Frage: Was enthalten $S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'}$ bzw. $S_{{\mathcal B}', {\mathcal B}}$ als Spalten? Was enthalten $S_{{\mathcal C}, {\mathcal C}'}$ und $S_{{\mathcal C}', {\mathcal C}}$ als Spalten? Sei $A_{\alpha}^{{\mathcal B}, {\mathcal C}}$ die Darstellungsmatrix von $\alpha$ bezüglich der Basen ${\mathcal B}$ und ${\mathcal C}$ . Was sind die Spalten von $A^{{\mathcal B}, {\mathcal C}}_{\alpha}$ ?

Satz 10.29   Die Darstellungsmatrix $A^{{\mathcal B}', {\mathcal C}'}_\alpha$ von $\alpha$ berechnet sich aus $A^{{\mathcal B}, {\mathcal C}}_\alpha$ durch

$$A^{{\mathcal B}', {\mathcal C}'}_\alpha = S^{-1}_{{\mathcal C}, {... ...l C}} A^{{\mathcal B}, {\mathcal C}}_{\alpha} S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'}.$$

Beweis: Sei $v \in V$ beliebig. Sei $x$ bzw. $x'$ der Koordinatenvektor von $v$ bezüglich ${\mathcal B}$ bzw. ${\mathcal B}'$ . Analog sei $y$ bzw. $y'$ der Koordinatenvektor von $\alpha (v)$ bezüglich ${\mathcal C}$ bzw. ${\mathcal C}'$ . Nach Satz 10.25 ist also $y \, = \, A_{\alpha}^{{\mathcal B}, {\mathcal C}} x$ und $y' \, = \, A_{\alpha}^{{\mathcal B}', {\mathcal C}'} x'$ und nach Satz 10.28 ist $x \, = \, S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'} x'$ und $y' \, = \, S_{{\mathcal C}', {\mathcal C}} y$ . Daraus folgt: $y' \, = \, S_{{\mathcal C}', {\mathcal C}} y \, = \, S_{{\mathcal C}', {\mathc... ... C}} A_{\alpha}^{{\mathcal B}, {\mathcal C}} S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'} x'$ , d. h. $A_{\alpha}^{{\mathcal B}', {\mathcal C}'} x' \, = \, S_{{\mathcal C}', {\mathcal C}} A_{\alpha}^{{\mathcal B}, {\mathcal C}} S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'} x'$ .
Durchläuft $v$ ganz $V$ , so durchläuft $x'$ ganz $K^n$ . Nach Korollar 10.26 b) ist daher $A_{\alpha}^{{\mathcal B}', {\mathcal C}'} = S_{{\mathcal C}', {\mathcal C}} A_{\alpha}^{{\mathcal B}, {\mathcal C}} S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'}$ . Es ist $S_{{\mathcal C}', {\mathcal C}} \, = \, S_{{\mathcal C}, {\mathcal C}'}^{-1}$ nach Satz 10.27.$\Box$

Beispiel: Sei $V = W = \mathbb{R}^2, \, {\mathcal B}\, = \, {\mathcal C}\, = \, (e_1, e_2), \... ...mathcal C}' = (\frac{1}{\sqrt{2}} (e_1 + e_2), \frac{1}{\sqrt{2}} (-e_1 + e_2))$ . Sei $\alpha : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ definiert durch $\alpha(e_1) = e_2$ und $\alpha(e_2) = e_1$ . Geometrisch gesprochen ist $\alpha$ die Spiegelung an der Hauptdiagonalen.
Es ist $A_{\alpha}^{{\mathcal B}}\, ( = A_{\alpha}^{{\mathcal B}, {\mathcal B}}) = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$ . Wir berechnen $A_{\alpha}^{{\mathcal B}'} (= A_{\alpha}^{{\mathcal B}', {\mathcal B}'})$ mit Hilfe von Satz 10.29. Es ist $S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'} \, = \, \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ und $S_{{\mathcal B}', {\mathcal B}} = S_{{\mathcal B}, {\mathcal B}'}^{-1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{array} \right)$ . Also ist $A_{\alpha}^{{\mathcal B}'} = S_{{\mathcal B}', {\mathcal B}} A_{\alpha}^{{\mat... ...} \right) \, = \, \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)$ . An dieser Darstellungsmatrix wird sofort klar, dass $\alpha$ eine Spiegelung ist.