Eigenwerte linearer Abbildungen

Zusammenfassung:

Sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum und $\alpha : V \rightarrow V$ eine lineare Abbildung. Wir bestimmen alle $c \in K$ , für die es Vektoren $v \neq o$ gibt mit $\alpha(v) = c \cdot v$ . Solch ein $c$ heißt Eigenwert von $\alpha$ und ein $v \neq o$ , dass diese Gleichung erfüllt, heißt (zugehöriger) Eigenvektor. Die Bestimmung von Eigenvektoren bedeutet also geometrisch die Bestimmung aller Geraden durch den Nullpunkt (d.h. aller 1-dimensionalen Unterräume), die von $\alpha$ als Ganzes festgelassen werden.
Die Theorie der Eigenwerte hat vielfältige Anwendungen, u.a. bei diskreten und kontinuierlichen dynamischen Systemen. Im nächsten Kapitel wird dies bei der Behandlung linearer Rekursionen deutlich werden, die sich durch besonders einfach diskrete dynamische Systeme, nämlich lineare Schieberegister, beschreiben lassen.

Unter den Darstellungsmatrizen einer linearen Abbildung $\alpha : V \rightarrow V$ spielen diejenigen von der Form $A_{\alpha}^{{\mathcal B}} = A_{\alpha}^{{\mathcal B}, {\mathcal B}}$ eine besondere Rolle. Bei festgelegter Basis entspricht der Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen von $V$ in sich das Produkt der zugehörigen Darstellungsmatrizen (Satz 10.20). Auch die Determinante solcher linearen Abbildungen wird über diesen Typ von Darstellungsmatrizen definiert (siehe Bemerkung Seite ).

Daher stellt sich die Frage, ob man zu gegebenem $\alpha$ eine Basis finden kann, so dass $A_\alpha^{{\mathcal B}}$ eine besonders einfache Gestalt hat. Wir verstehen hierunter im Folgenden, dass $A_{\alpha}^{{\mathcal B}}$ eine Diagonalmatrix, also von der Form $\left( \begin{array}{cccc}b_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & b_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & & & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & b_n \end{array} \right)$ ist.

Ist $\sigma$ zum Beispiel eine Spiegelung im $\mathbb{R}^2$ an der Geraden $\langle e_1 \rangle$ , also $\sigma :\left (\begin{array}{c}x_1\\ x_2\end{array} \right ) \mapsto \left (\begin{array}{c}x_1\\ -x_2\end{array} \right )$ , so ist $\sigma (e_1) = e_1$ und $\sigma(e_2) = -e_2$ , und die Darstellungsmatrix bezüglich der kanonischen Basis ist die Diagonalmatrix $$\left( \begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array} \right)$$ .

Ist $\pi$ die Projektion von $V = U \oplus W$ auf $W$ entlang $U$ , so ist $\pi(w) = 1 \cdot w$ für alle $w \in W$ und $\pi(u) = 0 \cdot u$ für alle $u \in U$ . Wählen wir also eine Basis, die sich der Zerlegung $V = U \oplus W$ anpasst, so erhalten wir als Darstellungsmatrix wieder eine Diagonalmatrix mit Nullen und Einsen auf der Diagonale.

Ist hingegen $\rho$ einen Drehung um den Nullpunkt im $\mathbb{R}^2$ mit einem Winkel, der kein Vielfaches von $\pi$ ist, so gibt es keinen Basis ${\mathcal B}$ , so dass $A_{\rho}^{{\mathcal B}}$ Diagonalgestalt hat. Es gibt nämlich überhaupt keinen von $o$ verschiedenen Vektor, der von $\rho$ auf ein skalares Vielfaches von sich abgebildet wird.

Wir werden uns jetzt mit der Frage nach der Existenz solcher Vektoren befassen und führen dazu die folgenden Bezeichnungen ein.

Definition 10.52   Sei $V$ ein Vektorraum über $K, \alpha : V \rightarrow V$ eine lineare Abbildung. Ein $c \in K$ heißt Eigenwert zu $\alpha$ , falls ein $v \neq o$ in V existiert mit $\alpha(v) = c v$ . $v$ heißt dann ein zu $c$ gehöriger Eigenvektor.

Die Bedingung $v \neq o$ in Definition 10.52 ist natürlich wesentlich, da $\alpha(o) = c \cdot o$ für alle $c \in K$ . Offensichtlich gilt: Ist $v$ ein Eigenvektor von $c$ , so auch $a v$ für jedes $0 \neq a \in K$ .

Beispiele:

1. 0 ist genau dann der Eigenwert von $\alpha$ , falls $\ker(\alpha) \neq \{o\}$ .
2. Die identische Abbildung auf $V$ hat $1$ als einzigen Eigenwert. Jeder Vektor $\neq o$ ist Eigenvektor zum Eigenwert $1$ .
3. Sei $\sigma : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ definiert durch $\sigma(e_1) = e_2, \; \sigma(e_2) = e_1$ . ($\sigma$ ist die Spiegelung an der Hauptdiagonalen.) Eigenwerte von $\sigma$ sind $1$ und $-1$ . Ein Eigenvektor zu $1$ ist $e_1 + e_2$ , ein Eigenvektor zu $-1$ ist $e_1 - e_2$ .

Wir vermerken für spätere Zwecke folgende Invarianz-Eigenschaft der Eigenwerte:

Lemma 10.53  

Seien $V, W$ $n$ -dimensionale Vektorräume über $K$ , $\alpha \in L(V,V)$ und $\beta : W \rightarrow W$ ein Isomorphismus. Dann haben $\alpha$ und $\beta^{-1} \alpha \beta$ die gleichen Eigenwerte.

Beweis: Ist $c$ ein Eigenwert von $\alpha, o \neq v \in V$ ein Eigenvektor zu $\alpha$ , so folgt unmittelbar, dass $\beta^{-1}(v) \neq o$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $c$ für $\beta^{-1} \alpha \beta$ ist. Die Umkehrung geht analog.$\Box$

Wir erklären jetzt auch Eigenwerte für quadratische Matrizen. Da eine $n \times n$ -Matrix $A$ durch Multiplikation eine lineare Abbildung $\alpha_A : K^n \rightarrow K^n, \, x \mapsto Ax$ , bestimmt, liegt folgende Definition nahe:

Definition 10.54   Sei $A$ eine $n \times n$ -Matrix über $K$ . Ein Eigenwert von $\alpha_A$ heißt dann Eigenwert von A.

Der Zusammenhang zwischen den beiden Definitionen wird erhellt durch folgenden Satz.

Satz 10.55   Sei $V$ $n$ -dimensionaler $K$ -Vektorraum, $\alpha : V \rightarrow V$ eine lineare Abbildung. Dann gilt für jede Basis ${\mathcal B}$ von $V$ , dass $\alpha$ und $A_{\alpha}^{{\mathcal B}}$ die gleichen Eigenwerte besitzen.

Beweis: Sei $\kappa = \kappa_{{\mathcal B}} : V \rightarrow K^n$ die durch $\kappa (\sum_{i=1}^n a_i v_i) = (a_1, \ldots, a_n)^t$ definierte Koordinatenabbildung bezüglich der Basis ${\mathcal B}= (v_1, \ldots, v_n)$ . Setzen wir $A = A_{\alpha}^{{\mathcal B}}$ , so ist $\alpha = \kappa^{-1} \alpha_A \kappa$ . Die Behauptung folgt dann mit Lemma 10.53.$\Box$

Der folgende Satz ist im Grunde nur eine Umformulierung der Definition:

Satz 10.56   Sei $V$ ein $n$ -dimensionaler $K$ -Vektorraum, ${\mathcal B}$ eine Basis von $V$ . Sei $\alpha : V \rightarrow V$ eine lineare Abbildung, $A = A_\alpha^{{\mathcal B}}$ .

a)

Sei $c \in K$ . Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:

(1)

$c$ ist Eigenwert von $\alpha$

(2)

$\ker(c \cdot id_V - \alpha) \neq \{o\}$

(3)

$\det (c \cdot E_n - A) = 0$

b)

$\ker(c \cdot id_V - \alpha) \setminus \{o\}$ ist die Menge aller zum Eigenwert $c$ gehörenden Eigenvektoren.

Beweis: a) Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar. Da $c E_n -A$ die Darstellungsmatrix von $c \cdot id_V - \alpha$ ist, ist $\det(c E_n - A)=0$ genau dann, wenn $c \cdot id_V - \alpha$ nicht bijektiv ist (Korollar 10.48 und Korollar 10.24). Nach Korollar 10.13 ist dies gleichwertig damit, dass $c \cdot id_V - \alpha$ nicht injektiv ist, also $\ker(c \cdot id_V - \alpha) \neq \{o\}$ .
b) Das folgt unmittelbar aus der Definition der Eigenvektoren.$\Box$

Ist $c$ ein Eigenwert von $\alpha$ , so nennt man $\ker (c \cdot id_V - \alpha)$ den zugehörigen Eigenraum. Mit Satz 10.56 a) kommt für die Eigenwertbestimmung die Determinante von $c E_n - A$ ins Spiel. Man kann diese Determinante ``simultan'' für alle $c \in K$ (Eigenwert oder nicht) berechnen aufgrund des folgenden wichtigen Satzes.

Satz 10.57   Sei $A$ eine $n \times n$ -Matrix über $K$ . Dann gibt es ein Polynom $f_A \in \mathbb{K}[t]$ vom Grad $n$ , $f_A = t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \cdots + a_1 t + a_0$ , so dass $f_A (b)= \det (b E_n - A)$ für alle $b \in K$ .

Beweis: Ist $b \in K$ , so ist aufgrund der Leibniz-Formel (Satz 10.43)

$$\det (b E_n -A) = (b - a_{11})(b-a_{22})\cdots (b -a_{nn}) + \sum_{\pi \neq id}$$   Sign$$(\pi) \Pi_{k} b_{\pi(k)k},$$

wobei $b_{ij}$ das $(i,j)$ -Element der Matrix $b E_n - A$ ist. Also ist $$b_{ij} = \left\{ \begin{array}{cr}b - a_{ij} \; & {\mbox{für}... ... j\\ - a_{ij} \; & {\mbox{für}} \; i \neq j \end{array} \right.$$ .
Ist $id \neq \pi \in S_n$ , so kommt im Produkt $\Pi_k b_{\pi(k)k}$ ein Faktor der Form $(b - a_{ii})$ höchstens $n-2$ mal vor. $\Pi_k b_{\pi(k)k}$ ist also ein ``Polynom in $b$ '' vom Grad $\leq n-2$ , dessen Koeffizienten Produkte gewisser $a_{ij}$ sind (mit Vorzeichen $\pm 1$ ) und von $b$ nicht abhängen.
Rechnet man $\Pi_{i=1}^n (b-a_{ii})$ aus, so erhält man $\Pi_{i=1}^n (b-a_{ii})$ = $b^n - (\sum_{i=1}^n a_{ii})b^{n-1} \pm \cdots + (-1)^n a_{11} \cdots a_{nn}$ , also ein ``Polynom in $b$ '' vom Grad $n$ , dessen Koeffizienten ebenfalls nur von den $a_{ij}$ , aber nicht von $b$ abhängen. Damit folgt die Behauptung des Satzes.$\Box$

Man nennt das Polynom $f_A(t)$ aus Satz 10.57 das charakteristische Polynom von $A$ und schreibt üblicherweise $\det(t E_n - A)$ für $f_A(t)$ . Es wird berechnet, indem man die Determinante von $t E_n - A$ mit der ``Unbestimmten'' $t$ ausrechnet und das Ergebnis nach Potenzen von $t$ zusammenfasst.

Bemerkung:Das Rechnen mit der Unbestimmten $t$ ist nichts anderes als Rechnen im Ring $K[t]$ . Da in der Leibniz-Formel nur Additionen und Multiplikationen auftreten, ist dies kein Problem.

Wir definieren nun für eine lineare Abbildung $\alpha$ eines $n$ -dimensionalen Vektorraums $V$ in sich das charakteristische Polynom von $\alpha$ durch $\det (t \cdot id_V - \alpha) := \det (t E_n - A)$ ,wobei $A = A_{\alpha}^{{\mathcal B}}$ die Darstellungsmatrix von $\alpha$ bezüglich irgendeiner Basis ${\mathcal B}$ von $V$ ist. Das Polynom hängt nicht von der Wahl von ${\mathcal B}$ ab.

Bemerkung:Die zuletzt gemachte Aussage über die Unabhängigkeit des Polynoms $\det (t E_n - A_{\alpha}^{{\mathcal B}})$ von der Basis ${\mathcal B}$ ist nicht ohne Weiteres klar. Ist ${\mathcal B}'$ eine weitere Basis von $V$ , so gilt wegen $b E_n - A_{\alpha}^{{\mathcal B}} = A_{b \cdot id_V - \alpha}^{{\mathcal B}}$ , dass $\det (b E_n - A_{\alpha}^{{\mathcal B}}) = \det (b E_n - A_{\alpha}^{{\mathcal B}'})$ nach der Bemerkung auf Seite . Bezeichnet man das Polynom $\det (t E_n - A_{\alpha}^{{\mathcal B}})$ mit $g_{{\mathcal B}}$ , so ist also $g_{{\mathcal B}}(b) = g_{{\mathcal B}'}(b)$ für alle $b \in K$ . Dies ist für unsere Zwecke völlig ausreichend, denn wir benötigen ja nur die Gleichheit der Polynomfunktionen $b \rightarrow g_{{\mathcal B}}(b)$ und $b \rightarrow g_{{\mathcal B}'}(b)$ . Obwohl man im Allgemeinen daraus nicht auf die Gleichheit der Polynome schließen kann (vgl. Abschnitt 4.2.2), ist dies hier aber der Fall, d. h. $g_{{\mathcal B}} = g_{{\mathcal B}'}$ in $K[t]$ . Um zu zeigen, dass dabei tatsächlich dasselbe Polynom entsteht, benötigt man etwas weiter gehende Hilfsmittel.

Korollar 10.58   Genau dann ist $c$ ein Eigenwert von $\alpha : V \rightarrow V$ , wenn $c$ Nullstelle des charakteristischen Polynoms $\det(t \cdot id_V - \alpha) = \det(t E_n - A)$ von $\alpha$ ist, wobei $A = A_{\alpha}^{{\mathcal B}}$ für eine beliebig wählbare Basis ${\mathcal B}$ von $V$ ist.