Inhalt

• Einleitung und Überblick
  • Ziele und Entstehung des Buchs
  • Wozu dient die Mathematik in der Informatik?
  • Unsere mathematische Auswahl
  
  
• Grundlagen
  • Einführung in das mathematische Argumentieren
  • Mengen
    • Einführung
    • Mengen und Mengenrelationen
    • Kartesisches Produkt und Abbildungen
    • Potenzmenge, Verallgemeinerung der Mengenoperationen
    • Endliche, abzählbare und überabzählbare Mengen
    • Relationen
  • Natürliche Zahlen und Kombinatorik
    • Die natürlichen Zahlen und das Induktionsprinzip
    • Einführung in die Kombinatorik
  • Einführung in die Graphentheorie
    • Begriffe und einfache Ergebnisse
    • Eulersche Graphen
    • Bäume
  • Formale Aussagenlogik
    • Aufbau der Sprache
    • Semantik von Ausdrücken
    • Aussagenlogische Äquivalenz
    • Logische Folgerung
    • Der Resolutionskalkül
  
  
• Einführung in die elementare Zahlentheorie
  • Teilbarkeit und Kongruenzen
  • Primfaktorzerlegung
  
  
• Einführung in die Algebra
  • Halbgruppen, Monoide und Gruppen
    • Halbgruppen
    • Monoide
    • Gruppen
    • Die Gruppenordnung und der Satz von Lagrange
    • Faktorgruppen und Homomorphismen
    • Zyklische Gruppen
    • Direktes Produkt von Monoiden und Gruppen
  • Ringe und Körper
    • Grundbegriffe
    • Polynomringe
    • Homomorphismen und Unterringe
    • Faktorringe und Ideale
    • Die Ringe $\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Z}_n$
  • Teilbarkeitslehre in Polynomringen
    • Teilbarkeit in kommutativen Ringen
    • Teilbarkeit in Polynomringen
    • Ein Repräsentantensystem für $K[x]/fK[x]$
    • Größter gemeinsamer Teiler in Polynomringen
    • Primelemente in Ringen
    • Primfaktorzerlegung in Polynomringen
  • Erste Anwendungen
    • Codes
    • Codierung mit Polynomen
    • Zyklische Codes
    • Ein öffentliches Verschlüsselungsverfahren
  • Boolesche Algebren
    • Definition und einfache Eigenschaften Boolescher Algebren
    • Die Boolesche Algebra der Aussagenlogik
    • Darstellung endlicher Boolescher Algebren
    • n-stellige Boolesche Funktionen und Polynomfunktionen
  
  
• Elementare Grundlagen der Analysis
  • Der Körper der reellen Zahlen
    • Die Ordnung auf $\mathbb{R}$
    • Das Vollständigkeitsaxiom für $\mathbb{R}$
    • Axiomatische Beschreibung von $\mathbb{R}$
    • Obere und untere Grenze von Mengen
  • Der Körper der komplexen Zahlen
  • Folgen und Konvergenz
    • Typen von Folgen, Konvergenz
    • Monotone Folgen
    • Rechenregeln für konvergente Folgen
    • Groß O und klein o von Folgen
    • Teilfolgen einer Folge
    • Cauchys Konvergenzkriterium
  • Unendliche Reihen
    • Allgemeine unendliche Reihen
    • Absolut konvergente Reihen
    • Potenzreihen
  • Komplexe Zahlenfolgen und Reihen
  
  
• Reelle Funktionen einer Veränderlichen
  • Reelle Funktionen und ihre Erzeugung
    • Einfache Regeln zur Bildung von Funktionen
    • Punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz
  • Grenzwert von Funktionswerten
  • Stetigkeit
    • Der Begriff Stetigkeit und Nachweis der Stetigkeit
    • Eigenschaften stetiger Funktionen
    • Exponentialfunktion und Logarithmus
  
  
• Differential- und Integralrechnung
  • Die Ableitung (Differentiation) einer Funktion
    • Die grundlegende Idee der Ableitung
    • Einfache Ableitungsregeln
    • Höhere Ableitungen
  • Das bestimmte Integral
    • Das Integral von Treppenfunktionen
    • Das Integral von Regelfunktionen
  • Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
    • Stammfunktion und Ableitung
    • Vertauschung von Differentiation und Konvergenz
  • Ableitungs- und Integrationsformeln
    • Einige elementare Ableitungsformeln
    • Die Winkelfunktionen
    • Die Hyperbelfunktionen
    • Tabelle der Ableitungs- und Integrationsformeln
    • Integrationstechniken
    • Differentiation und Integration komplexwertiger Funktionen
  • Die Mittelwertsätze der Differentialrechnung
    • Der Satz von Rolle
    • Die Mittelwertsätze
  • Grenzwertbestimmungen
  • Der Entwicklungssatz von Taylor
    • Der allgemeine Entwicklungssatz
    • Lokale Extremwerte
    • Die Taylorreihe
  • Integrale über offene und halboffene Intervalle
  
  
• Anwendungen
  • Periodische Funktionen und Fourierreihen
    • Periodische Funktionen und Fourierreihen
  • Fouriertransformation
  • Skalare gewöhnliche Differentialgleichungen
    • Evolutionsgleichungen
    • Die lineare Schwingungsgleichung
  
  
• Vektorräume
  • Vektorräume
  • Lineare Unabhängigkeit, Basis, Dimension
    • Lineare Abhängigkeit, lineare Unabhängigkeit
    • Basis und Dimension
    • Dimension von Unterräumen
    • Endliche Körper
  • Vektorräume mit Skalarprodukt
    • Euklidische Vektorräume
    • Norm und Abstand
    • Winkel und Orthogonalität
    • Das Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$
    • Skalarprodukte auf Vektorräumen über $\mathbb{C}$
  • Lineare Codes
  
  
• Lineare Abbildungen und Matrizen
  • Lineare Abbildungen
  • Matrizen
    • Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung
    • Summen und skalare Vielfache von Matrizen
    • Hintereinanderausführung linearer Abbildungen und Produkt von Matrizen
    • Lineare Abbildungen und Koordinatenvektoren
    • Matrizen und Basiswechsel
    • Rang einer Matrix
  • Eine Anwendung: Diskrete Fouriertransformation
  • Determinanten
  • Eigenwerte linearer Abbildungen
  • Abbildungen auf Euklidischen Vektorräumen
    • Orthogonale Abbildungen
    • Vektorraum-basierte Informationssuche
    • Symmetrische Abbildungen und Matrizen
  
  
• Lineare Gleichungssysteme und lineare Rekursionen
  • Lineare Gleichungssysteme
    • Allgemeine Theorie
    • Der Gauß-Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme
    • Berechnung der Inversen einer invertierbaren Matrix
  • Lineare Rekursionen
  
  
• Affine Geometrie
  • Affine Räume
    • Allgemeine affine Räume
    • Der affine Raum $A(V)$
    • Euklidische affine Räume
    • Geometrische Anwendungen in $A(\mathbb{R}^2)$ und $A(\mathbb{R}^3)$
  • Affine Abbildungen
    • Eigenschaften affiner Abbildungen
    • Kongruenzabbildungen auf Euklidischen affinen Räumen
  
  
• Funktionen mehrerer Veränderlicher
  • Folgen in $\mathbb{R}^p$ und Folgen von Matrizen
    • Vektor- und Matrixnormen
    • Folgen von Vektoren und Matrizen
    • Spezielle Klassen von Mengen
  • Grenzwerte von Funktionswerten, Stetigkeit
    • Typen von Funktionen
    • Grenzwerte
    • Stetigkeit
  • Anwendungen in der Numerik
    • Der Fixpunktsatz von Banach
    • Interpolation
  
  
• Mehrdimensionale Differentialrechnung
  • Kurven im $\mathbb{R}^p$
  • Differentiation von Funktionen in mehreren Variablen
    • Partielle Ableitungen
    • Totale Ableitung
  • Der Satz von Taylor, Extremwertbestimmungen
  • Der Umkehrsatz und seine Anwendungen
    • Der Umkehrsatz
    • Implizite Funktionen
    • Extrema unter Nebenbedingungen
  
  
• Mehrdimensionale Integration
  • Das mehrdimensionale Integral über kompakte Mengen
    • Definition des Integrals
    • Transformation von Integralen
  • Integrale über $\mathbb{R}^p$
  
  
• Einführung in die Stochastik
  • Einleitung
    • Drei Probleme aus der Informatik
  • Wahrscheinlichkeitsräume
  • Zufallsvariablen
    • Einführung
    • Verteilung einer Zufallsvariablen
    • Die wichtigsten diskreten Verteilungen
    • Die wichtigsten stetigen Verteilungen
    • Definition von Erwartungswert und Varianz
    • Berechnung von Erwartungswert und Varianz
    • Verteilungen mit stetiger Dichte
  • Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit
    • Bedingte Wahrscheinlichkeiten
    • Unabhängigkeit
  • Grenzwertsätze
    • Das Gesetz der großen Zahl
    • Zentraler Grenzwertsatz
    • Verteilung seltener Ereignisse
  • Stochastische Prozesse
    • Einleitung
    • Der Poisson-Prozess
    • Markoff-Ketten
  
  
• Literatur
• Index